วันอาทิตย์ที่ 11 กันยายน พ.ศ. 2554

รูปสามเหลี่ยม

   รูปสามเหลี่ยม (Triangle) คือ หนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิต เป็นรูป 2 มิติ ที่ประกอบด้วยจุดยอด 3 จุดและด้าน 3 ด้านที่เป็นส่วนของเส้นตรง
ชนิดของรูปสามเหลี่ยม
         
รูปสามเหลี่ยมแบ่งชนิดตามความยาวของด้านได้ดังนี้
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจะเป็นรูปมุมเท่าอีกด้วย นั่นคือ มุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเท่ากัน คือ 60°
รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะมีมุมสองมุมมีขนาดเท่ากัน
รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ด้านทุกด้านจะมีความยาวแตกต่างกัน มุมภายในในรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าจะมีขนาดเแตกต่างกัน
          รูปสามเหลี่ยมแบ่งชนิดตามขนาดของมุมภายในที่ใหญ่ที่สุด อธิบายด้วยองศา
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาด 90° (มุมฉาก) ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก คือ ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก อีกสองด้าน คือ ด้านประกอบมุมฉาก
รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่า 90° (มุมป้าน)
รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม มุมภายในทุกมุมมีขนาดเล็กกว่า 90° (มุมแหลม)
ข้อเท็จจริงพื้นฐาน
          ยุคลิดได้แสดงข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมไว้ในหนังสือ Elements เล่ม 1-4 เมื่อราวๆ 300 ปีก่อนคริสตกาล
          รูปสามเหลี่ยมเป็น รูปหลายเหลี่ยม และเป็น 2-ซิมเพล็กซ์ (2-simplex)
          รูปสามเหลี่ยม 2 รูป จะเรียกว่าคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ มุมของรูปสามเหลี่ยมหนึ่ง มีขนาดเท่ากับมุมที่สมนัยกันของอีกรูปสามเหลี่ยมหนึ่ง ด้านที่สมนัยกันจะเป็นสัดส่วนกัน ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยม 2 รูปที่มีมุมร่วมกันมุมหนึ่ง และด้านที่ตรงข้ามกับมุมนั้นขนานกัน
          ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไซน์ และ โคไซน์ สามารถนิยามขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและเรื่องความคล้ายกันได้ ฟังชันก์เหล่านี้เป็นฟังก์ชันของมุม ซึ่งดูได้ในตรีโกณมิติ
          พิจารณา รูปสามเหลี่ยมที่ประกอบด้วยจุดยอด A, B และ C, มุม
α, β และ γ และด้าน a, b และ c ด้าน a อยู่ตรงข้ามกับ จุดยอด A และมุม α และทำนองเดียวกับด้านอื่นๆ
          ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ผลรวมของมุม α + β + γ จะเท่ากับสองมุมฉาก (180° หรือ π เรเดียน) ซึ่งทำให้เรารู้ขนาดของมุมที่สามได้ เมื่อรู้ขนาดของมุมเพียง 2 มุม

                

          ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem) กล่าวว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากับ ผลรวมของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านอีกสองด้านที่เหลือ ถ้าจุดยอด C เป็นมุมฉาก จะได้ว่า
          นั่นหมายความว่า ถ้ารู้ความยาวของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ก็เพียงพอที่จะคำนวณด้านที่สาม ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถทำให้อยู่ในรูปทั่วไปโดยกฎโคไซน์ (law of cosines) ได้ว่า
 ซึ่งใช้ได้กับทุกรูปสามเหลี่ยม แม้ว่า γ จะไม่เป็นมุมฉาก กฎโคไซน์ใช้คำนวณความยาวของด้านและขนาดของมุมของรูปสามเหลี่ยมได้ เมื่อรู้ความยาวของด้านทั้งสามด้าน หรือ รู้ความยาวของด้านทั้งสองที่อยู่ติดกับมุมที่รู้ขนาด
          กฎไซน์ (law of sines) กล่าวว่า
          เมื่อ d คือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อม (วงกลมที่เล็กที่สุด ที่สามารถบรรจุรูปสามเหลี่ยมไว้ภายในได้พอดี) กฎไซน์ใช้คำนวณความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ เมื่อรู้ขนาดของมุม 2 มุมและด้าน 1 ด้าน ถ้ารู้ความยาวของด้าน 2 ด้านและขนาดของมุมที่ไม่อยู่ติดกัน กฎไซน์ก็สามารถใช้ได้เช่นเดียวกัน อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้อาจมีไม่มีคำตอบ หรืออาจมี 1 หรือ 2 คำตอบ
ศูนย์กลางวงล้อม คือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ลากผ่านจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม
          เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก (perpendicular bisector) คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้าน และตั้งฉากกับด้านนั้น นั่นคือ ทำมุมฉากกับด้านนั้น เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากทั้งสามจะพบกันที่จุดเดียว คือ ศูนย์กลางวงล้อม (circumcenter) ของรูปสามเหลี่ยม จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อม (circumcircle) ซึ่งเป็นวงกลมที่ลากผ่านจุดยอดทั้งสาม เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมสามารถหาได้จากกฎไซน์ที่กล่าวไปในข้างต้น
          ทฤษฎีบทของธาลีส (Thales' theorem) กล่าวว่า ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมแล้ว มุมตรงข้ามด้านนั้นจะเป็นมุมฉาก นอกจากนี้ ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่ในรูปสามเหลี่ยมแล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่นอกรูปสามเหลี่ยม
          ส่วนสูง (altitude) ของรูปสามเหลี่ยม คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและตั้งฉาก(ทำมุมฉาก)กับด้านตรงข้าม ด้านตรงข้ามนั้นเรียกว่าฐาน (base) ของส่วนสูง และจุดที่ส่วนสูงตัดกับฐาน (หรือส่วนที่ขยายออกมา)นั้นเรียกว่า เท้า (foot) ของส่วนสูง ความยาวของส่วนสูงคือระยะทางระหว่างฐานกับจุดยอด ส่วนสูงทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว เรียกจุดนั้นว่า จุดออร์โทเซนเตอร์(orthocenter) ของรูปสามเหลี่ยม จุดออร์โทเซนเตอร์จะอยู่ในรูปสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อรูปสามเหลี่ยมนั้นไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน จุดยอดทั้งสามและจุดออร์โทเซนเตอร์นั้นอยู่ในระบบออร์โทเซนตริก (orthocentric system)
            เส้นแบ่งครึ่งมุม (angle bisector) คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอด ซึ่งแบ่งมุมออกเป็นครึ่งหนึ่ง เส้นแบ่งครึ่งมุมทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน (incircle) ของรูปสามเหลี่ยม วงกลมแนบในคือวงกลมที่อยู่ในรูปสามเหลี่ยม และสัมผัสด้านทั้งสาม มีอีกสามวงกลมที่สำคัญคือ วงกลมแนบนอก (excircle) คือวงกลมที่อยู่นอกรูปสามเหลี่ยมและสัมผัสกับด้านหนึ่งด้านและส่วนที่ขยายออกมาทั้งสอง จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในและวงกลมแนบนอกอยู่ในระบบออร์โทเซนตริก
                  เส้นมัธยฐาน (median) ของรูปสามเหลี่ยม คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ซึ่งจะแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นพื้นที่ที่เท่ากัน เส้นมัธยฐานทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ เซนทรอยด์ (centroid) ของรูปสามเหลี่ยม จุดนี้จะเป็นศูนย์ถ่วง (center of gravity) ของรูปสามเหลี่ยมด้วย ถ้ามีไม้ที่เป็นรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถทำให้มันสมดุลได้ที่เซนทรอยด์ของมันหรือเส้นใดๆที่ลากผ่านเซนทรอยด์ เซนทรอยด์จะแบ่งเส้นมัธยฐานด้วยอัตราส่วน 2:1 นั่นคือระยะทางระหว่างจุดยอดกับเซนทรอยด์ จะเป็นสองเท่าของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม
     วงกลมเก้าจุด แสดงความสมมาตรที่จุดหกจุดอยู่บนวงกลมเดียวกัน
          จุดกึ่งกลางของด้านทั้งสาม และเท้าของส่วนสูงทั้งสาม จะอยู่บนวงกลมเดียวกัน คือ วงกลมเก้าจุด (nine point circle) ของรูปสามเหลี่ยม อีกสามจุดที่เหลือคือจุดกึ่งกลางระหว่างจุดยอดกับจุดออร์โทเซนเตอร์ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของส่วนสูง รัศมีของวงกลมเก้าจุดจะเป็นครึ่งหนึ่งของรัศมีวงกลมล้อม มันจะสัมผัสวงกลมแนบใน (ที่จุด Feuerbach) และสัมผัสวงกลมแนบนอก
   เส้นออยเลอร์ คือเส้นที่ลากผ่าน เซนทรอยด์ (สีเหลือง), จุดออร์โทเซนเตอร์ (สีน้ำเงิน),
ศูนย์กลางวงล้อม (สีเขียว) และจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (สีแดง)
          เซนทรอยด์ (สีเหลือง), จุดออร์โทเซนเตอร์ (สีน้ำเงิน), ศูนย์กลางวงล้อม (สีเขียว) และจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (จุดสีแดง) ทั้งหมดจะอยู่บนเส้นเดียวกัน ที่เรียกว่า เส้นออยเลอร์ (Euler's line) (เส้นสีแดง) จุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดจะอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดออร์โทเซนเตอร์กับศูนย์กลางวงล้อม ระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับศูนย์กลางวงล้อมจะเป็นครึ่งหนึ่งของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดออร์โทเซนเตอร์
          จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในโดยทั่วไปจะไม่อยู่บนเส้นออยเลอร์
          ภาพสะท้อนของเส้นมัธยฐานที่เส้นแบ่งครึ่งมุมของจุดยอดเดียวกัน เรียกว่า symmedian symmedianทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ จุด symmedian (symmedian point) ของรูปสามเหลี่ยม
การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
          การคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเป็นปัญหาพื้นฐานที่พบเจอเป็นประจำในสถานการณ์ต่างๆ มีหลายวิธีที่จะหาคำตอบ ขึ้นอยู่กับว่าเรารู้อะไรเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมบ้าง วิธีเหล่านี้เป็นสูตรหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ใช้กันบ่อยๆ
ใช้เรขาคณิต
          พื้นที่ S ของรูปสามเหลี่ยม คือ S = ½bh เมื่อ b คือความยาวของด้านใดๆในรูปสามเหลี่ยม (ฐาน) และ h (ส่วนสูง) คือระยะทางตั้งฉากระหว่างฐานกับจุดยอดที่ไม่ใช่ฐาน วิธีนี้แสดงให้เห็นได้ด้วยการสร้างรูปทางเรขาคณิต
เปลี่ยนรูปสามเหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ที่มีพื้นที่เป็นสองเท่าของรูปสามเหลี่ยม จากนั้นเปลี่ยนเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
          เพื่อที่จะหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้ (สีเขียว) ขั้นแรก นำรูปสามเหลี่ยมเดียวกัน หมุนไป 180° และวางมันบนด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้ เพื่อให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จากนั้นตัดส่วนหนึ่งของรูปและนำไปวางบนอีกด้านหนึ่ง เพื่อให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเท่ากับ bh ฉะนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้จึงเท่ากับ ½bh
    พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เท่ากับ ผลคูณไขว้ของสองเวกเตอร์
ใช้เวกเตอร์
          พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถคำนวณได้ด้วยเวกเตอร์ ถ้า AB และ AC เป็นเวกเตอร์ที่ชี้จาก A ไป B และ A ไป C ตามลำดับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD คือ |AB × AC| หรือขนาดของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ AB กับ AC |AB × AC| มีค่าเท่ากับ |h × AC| เมื่อ h แทนเวกเตอร์ส่วนสูง
          พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน หรือ S = ½|AB × AC|
                    ใช้ตรีโกณมิติ
  ส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยมหาได้ด้วยตรีโกณมิติ จากรูปทางซ้าย ส่วนสูงจะเท่ากับ h = a sin γ นำไปแทนในสูตร S = ½bh ที่ได้จากข้างต้น จะได้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ S = ½ab sin γ
          พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จึงเท่ากับ ab sin γ
ใช้พิกัด
          ถ้าจุดยอด A อยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน และกำหนดให้พิกัดของอีกสองจุดยอดอยู่ที่ B = (x1, y1) และ C = (x2, y2) แล้วพื้นที่ S จะคำนวณได้จาก 1/2 เท่าของค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์
          หรือ S = ½ |x1y2 x2y1|
ใช้ความยาวด้านและสูตรที่เสถียรเชิงตัวเลข
          สูตรเฮรอนนั้นไม่เสถียรเชิงตัวเลขสำหรับรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมขนาดเล็กมากๆ วิธีที่ดีกว่าคือ เรียงความยาวของด้านตามนี้ a b c และคำนวณจาก
          วงเล็บในสูตรนั้น จำเป็นต้องใส่ตามลำดับเพื่อป้องกันความไม่เสถียรเชิงตัวเลขในการหาค่า
รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ
          ถ้ามีส่วนประกอบของรูปสามเหลี่ยม (จุดยอด หรือด้าน) 4 ส่วน อยู่บนระนาบเดียวกันแล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นจะอยู่บนระนาบเดียวกัน นักเรขาคณิตได้ศึกษารูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบด้วย ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมบนทรงกลมในเรขาคณิตทรงกลม และ รูปสามเหลี่ยมเชิงไฮเพอร์โบลาในเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา

                                                          

วันพุธที่ 7 กันยายน พ.ศ. 2554

ความเท่ากันทุกประการ ระดับ ม.๒

สามเหลี่ยมและความเท่ากันทุกประการ

      นิยามของความเท่ากันทุกประการ
     1. รูปสองรูปเท่ากันทุกประการเมื่อรูปหนึ่งทับอีกรูปหนึ่งได้สนิทพอดี
     2. ส่วนของเส้นตรงสองเส้นจะเท่ากันทุกประการ เมื่อส่วนของเส้นตรงนั้นยาวเท่ากัน
     3. มุมสองมุมจะเท่ากันทุกประการ เมื่อมุมทั้งสองมุมมีขนาดเท่ากันความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม

 นิยาม  รูปสามเหลี่ยม ABC คือ รูปที่ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงสามเส้น , และเชื่อมต่อจุด A,B และ ว่าจุดยอดมุมของรูปสามเหลี่ยม ABC  รูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการเมื่อด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองมีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ

 ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในรูปแบบต่างๆ
     1. ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในแบบด้าน-มุม-ด้าน  (ด.ม.ด.)
 นิยาม ถ้ารูสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีด้านยาวเท่ากันสองคู่และขนาดของมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากัน  เท่ากันแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ
  
  2. ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในแบบมุม-ด้าน-มุม  (ม.ด.ม.)
 นิยาม ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่  และด้านซึ่งเป็นแขนร่วมของมุมทั้งสองที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันด้วยแล้ว  รูปสามเหลี่ยมสองนั้นจะเท่ากันทุกประการ

    3. ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในแบบด้าน-ด้าน-ด้าน  (ด.ด.ด.)
 นิยาม ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีด้านยาวเท่ากันสามคู่แล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นจะเท่ากันทุกประการ